Question

2．如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上一动点，以AE为直径作⊙O．
（1）设BE=x，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当BE为何值时，⊙O与CD相切；
（3）在（2）的条件下，切点F在CD边上的位置如何，并加以证明；
（4）判断以CD为直径的圆是否与（2）条件下的AE相切，说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据勾股定理可求得AE的长，然后依据圆的面积公式可求得y与x的函数关系；
（2）先根据题意画出图形，然后过点O作OF⊥DC，垂足为F，反向延长OF交AB与G，依据三角形的中位线定理可得打OG的长，然后依据OF+OG=1列方程可求得x的值；
（3）依据平行线分线段成比例定理可得到F为DC的中点；
（4）过点F作FH⊥AE，垂足为H，然后证明△AOG≌△FOH，从而得到FH=AG=FC，故此可证明AE是⊙F的切线．

解答 解：（1）在Rt△AEB中，依据勾股定理可知：AE=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴y=πr²=π×（$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{2}$）²即y=$\frac{π（1+{x}^{2}）}{4}$．
（2）如图1所示：过点O作OF⊥DC，垂足为F，反向延长OF交AB与G．

∵OF⊥DC，BC⊥DC，
∴OG∥BE．
又∵O是AE的中点，
∴G是AB的中点．
∴OG=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$x．
又∵OF=OE=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}}{2}$=1．
解得：x=$\frac{3}{4}$．
（3）F为DC的中点．
理由：∵AD∥OF∥BC，O为AE的中点，
∴F为DC的中点．
（4）过点F作FH⊥AE，垂足为H，．

∵G、F分别为AB和DC的中点，
∴FC=AG=$\frac{1}{2}$．
∵OG=OE=AO，
∴OF=OA．
在△AOG和△FOH中$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠FOH}\\{∠AGO=∠FHO}\\{OA=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△FOH．
∴HF=AG．
∴FH=FC．
∴AE为⊙F的切线．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、圆的面积公式、全等三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，掌握切线的性质和判定定理是解题的关键．