Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1
（1）当∠C=90°时，AD为∠BAC的平分线，求证：AB=AC+CD；（提示在AB上截取AE=AC）
（2）如图2，当∠C≠90°时，AD为∠BAC的角平分线，猜想线段AB，AC，CD的关系式

 

；（请直接写出你的猜想，不需要证明）
（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD的关系

 

  （请写出你的猜想并对你的猜想给予证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）AB=AC+CD．首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；
（2）AC+AB=CD．首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．
（3）AB=CD-AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．

解答：解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，
∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

DE=DC AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ACB=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE=DC，
则AB=BE+AE=CD+AC；

（2）AB=CD+AC，理由为：
在AB上截取AG=AC，如图2所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ADC中，

AG=AC   ∠GAD=∠CAD   AD=AD

，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD=CG，∠AGD=∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AGD=2∠B，
又∵∠AGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BE=DG=DC，
则AB=BG+AG=CD+AC；

（3）AB=CD-AC，理由为：
在AF上截取AG=AC，如图3所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD=∠CAD，
在△ADG和△ACD中，

AG=AC ∠GAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠FGD=2∠B，
又∵∠FGD=∠B+∠GDB，
∴∠B=∠GDB，
∴BG=DG=DC，
则AB=BG-AG=CD-AC．
故答案是：（2）AB=CD+AC；（3）AB=CD-AC．

点评：此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．