【题目】如图,在平面直角坐标系中,以点C(1,1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A,B两点,点P在优弧上.
(1)求出A,B两点的坐标;
(2)试确定经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式;
(3)在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(1-,0),B(1+,0).(2)y=-x2+2x+2.(3)存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.
【解析】
试题分析:(1)根据垂径定理可得出AH=BH,然后在直角三角形ACH中可求出AH的长,再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标.
(2)根据抛物线和圆的对称性,即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上,因此可得出P点的坐标为(1,3).然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式.根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式.
(3)如果OP、CD互相平分,那么四边形OCPD是平行四边形.因此PC平行且相等于OD,那么D点在y轴上,且坐标为(0,2).然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点.
试题解析:(1)如图,作CH⊥AB于点H,连接OA,OB,
∵CH=1,半径CB=2
∴HB=,
故A(1-,0),B(1+,0).
(2)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3),
设抛物线解析式y=a(x-1)2+3,
把点B(1+,0)代入上式,解得a=-1;
∴y=-x2+2x+2.
(3)假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD.
∵PC∥y轴,
∴点D在y轴上.
又∵PC=2,
∴OD=2,即D(0,2).
又D(0,2)满足y=-x2+2x+2,
∴点D在抛物线上
∴存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论:①abc<0;②;③ac﹣b+1=0;④OAOB=﹣.其中正确结论的序号是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为(0,4),线段的位置如图所示,其中点的坐标为(,),点的坐标为(3,).
(1)将线段平移得到线段,其中点的对应点为,点的对应点为点.
①点平移到点的过程可以是:先向 平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度;
②点的坐标为 .
(2)在(1)的条件下,若点的坐标为(4,0),连接,画出图形并求的面积.
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【题目】先化简,后求值
(1)(2a-3b)(3b+2a)-(a-2b)2,其中:a=-2,b=3;
(2)[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(xy),其中x=10,y=-.
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【题目】如图1在平面直角坐标系中.等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上.P为线段OB上﹣动点(不与O,B重合).过P点向x轴作垂线.垂足为C.以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM.OP=t,OA=3.设过O,M两点的抛物线为y=ax2+bx.其顶点N(m,n)
(1)写出t的取值范围 ,写出M的坐标:( , );
(2)用含a,t的代数式表示b;
(3)当抛物线开向下,且点M恰好运动到AB边上时(如图2)
①求t的值;
②若N在△OAB的内部及边上,试求a及m的取值范围.
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【题目】阅读下列材料:一般地,个相同的因数相乘 ,记为.如,此时,叫做以为底的对数,记为(即).一般地,若,(且,),则叫做以为底的对数,记为(即).如,则叫做以为底的对数,记为(即).
(1)计算以下各对数的值:__________,__________,__________.
(2)观察(1)中三数、,之间满足怎样的关系式,、、之间又满足怎样的关系式;
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?__________.(且,,)
(4)根据幂的运算法则:以及对数的含义证明上述结论.
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【题目】如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件 可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
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【题目】下列说法中正确的是 ( )
A. 在 Rt△ABC中,若tanA=,则a=4,b=3
B. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,则tanA+tanB=1
C. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若a=3,b=4,则tanA=
D. tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°=1+
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