分析 （1）如图1中，连接AO，BO，只要证明△AOC≌△BOC，再利用等腰三角形三线合一即可解决问题．
（2）如图2中，延长BM，与AE相交于点F．只要证明∠BME=2∠BAE，∠GOC=∠BAE即可．
（3）如图3中，延长EG交⊙O于K，连接OB，OE，作OQ⊥BE于Q，作EL⊥BM于L．首先证明AN=KE，先在Rt△MEL中，求出EL，再在Rt△BEL中，求出BE，最后在Rt△BOQ中，求出OB即可．
解答 证明：（1）如图1中，连接AO，BO．
在△AOC和△BOC，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{CO=CO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOC
∴∠ACO=∠BCO
∴AD=BD
证明：（2）如图2中，延长BM，与AE相交于点F．
∵OH⊥AE，
∴AH=EH，∴GA=GE
∴∠GAE=∠E=α，又∵OA=OB，
∴∠BAC=∠B=β
∵∠BFE=∠B+∠BAE
∴∠BME=∠BFE+∠E=2α+2β=2∠BAE，
又∵OA=OB，AD=DB，
∴OD⊥AB，
∵∠GOC+∠DOH=180°，∠BAE+∠DOH=180°，
∴∠GOC=∠BAE，
∴∠BME=2∠GOC
解：（3）如图3中，延长EG交⊙O于K，连接OB，OE，作OQ⊥BE于Q，作EL⊥BM于L．
∵∠GOC=∠BAE=60°，∠BME=120°，AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴$\widehat{AK}$=$\widehat{EN}$，
∴$\widehat{KE}$=$\widehat{AN}$
∴EK=GN=8，
又∵ME=2，
∴KM=6．∵弧BE=弧BE，
∴∠K=∠BAE=60°，
∵∠KMB=180°-∠BME=60°，
∴∠K=∠KMB=60°，
∴△KBM是等边三角形
∴BK=BM=KM=6，
在Rt△EML中，∵∠ELM=90°，∠EML=60°，EM=2，
∴ME=1，EL=$\sqrt{3}$
∴BE=$\sqrt{B{L}^{2}+E{L}^{2}}$=2$\sqrt{13}$
Rt△OBQ中，∠BOQ=60°，BQ=$\sqrt{13}$，
∴∠OBQ=30°，
∴OB=2OQ，设OQ=m，则OB=2m，
∴（2m）2=m2+（$\sqrt{13}$）2，
∴m=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{\sqrt{39}}{3}$
∴OQ═2m=$\frac{{2\sqrt{39}}}{3}$．
点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、在直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识，学会条件常用辅助线，构造直角三角形，属于中考压轴题．
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