Question

如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP．设=n，其中0＜n≤1．

（1）如图2，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，则=______；
（2）如图3，当n=（M为AD的中点），m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；
（3）如图1，当m=2（AB=2AD），n的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可知，当n=1（即M点与D点重合），m=2时，AB=2AD，设AD=a，则AB=2a，由矩形的性质可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出结论；
（2）延长PM交EA延长线于G，由条件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，通过证明△ABM∽△KFE，就可以得出=即=，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是为定值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵AB=mAD，且n=2，
∴AB=2AD．
∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，
∴∠ADE=∠NDF．
在△ADE和△NDF中，
，
∴△ADE≌△NDF（ASA），
∴AE=NF，DE=DF．
∵FN=FC，
∴AE=FC．
∵AB=CD，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，
∴BE=DE．
Rt△AED中，由勾股定理，得
AE²=DE²-AD²，
AE²=（2AD-AE）²-AD²，
∴AE=AD，
∴BE=2AD-AD=AD．
∴==．

（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，
∴∠GAM=90°．
∵M为AD的中点，
∴AM=DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠GAM=∠PDM．
在△GAM和△PDM中，
，
∴△GAM≌△PDM（ASA），
∴MG=MP，
在△EMP和△EMG中，
，
∴△EMP≌△EMG（SAS），
∴EG=EP，
∴AG+AE=EP，
∴PD+AE=EP，
即AE=AE+DP；

（3）=的值不变，
理由：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，
∴EF⊥MB，
即∠FQO=90°，
∵四边形FKBC是矩形，
∴KF=BC，FC=KB，
∵∠FKB=90°，
∴∠KBO+∠KOB=90°，
∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，
∴∠KBO=∠OFQ，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABM∽△KFE，
∴=即=，
∵AB=2AD=2BC，BK=CF，
∴=，
∴的值不变．
点评：本题是一道相似性的综合试题，考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．