Question

5、分解因式：
（1）x⁹+x⁶+x³-3；
（2）（m²-1）（n²-1）+4mn；
（3）（x+1）⁴+（x²-1）²+（x-1）⁴；
（4）a³b-ab³+a²+b²+1．

Answer 1

分析：（1）首先将-3拆成-1-1-1，多项式变为（x⁹-1）+（x⁶-1）+（x³-1），然后分别利用公式法分解因式即可求解；
（2）首先将4mn拆成2mn+2mn，多项式变为（m²n²+2mn+1）-（m²-2mn+n²），然后分别利用公式法分解因式即可求解；
（3）首先将（x²-1）²拆成2（x²-1）²-（x²-1）²，多项式变为[（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴]-（x²-1）²，然后利用公式法分解因式即可求解；
（4）首先添加两项+ab-ab，多项式变为（a³b-ab³）+（a²-ab）+（ab+b²+1），然后分别分解因式，接着提取公因式即可求解．

解答：解（1） 原式=x⁹+x⁶+x³-1-1-1
=（x⁹-1）+（x⁶-1）+（x³-1）
=（x³-1）（x⁶+x³+1）+（x³-1）（x³+1）+（x³-1）
=（x³-1）（x6+2x³+3）
=（x-1）（x²+x+1）（x⁶+2x³+3）；

（2） 原式=（m²-1）（n²-1）+2mn+2mn
=m²n²-m²-n²+1+2mn+2mn
=（m²n²+2mn+1）-（m²-2mn+n²）
=（mn+1）²-（m-n）²
=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）；

（3） 原式=（x+1）⁴+2（x²-1）²-（x²-1）²+（x-1）⁴
=[（x+1）⁴+2（x+1）²（x-1）²+（x-1）⁴]-（x²-1）²
=[（x+1）²+（x-1）²]²-（x²-1）²
=（2x²+2）²-（x²-1）²=（3x²+1）（x²+3）；

（4） 原式=a³b-ab³+a²+b²+1+ab-ab
=（a³b-ab³）+（a²-ab）+（ab+b²+1）
=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b²+1）
=a（a-b）[b（a+b）+1]+（ab+b²+1）
=[a（a-b）+1]（ab+b²+1）
=（a²-ab+1）（b²+ab+1）．

点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．