Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标．
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式．
（3）设点B关于抛物线的对称轴?的对称点为B_l，连接AB₁，求tan∠AB₁B的值．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，构造直角，在直角三角形中解题，证三角形全等，从而求得B点坐标；
（2）求解析式已知两定点，用待定系数求出解析式；
（3）写出对称轴方程，由点关于直线对称，求出对称点，从而可求tan∠AB₁B的值．

解答：解：（1）作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，（2分）
则∠ACO=∠ODB=90°．
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（5分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．（7分）

（2）抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx．
将A（-3，1），B（1，3）代入，
得

9a-3b=1 a+b=3

，
解得a=

5

6

，b=

13

6

故所求抛物线的解析式为y=

5

6

x²+

13

6

x．（10分）

（3）抛物线y=

5

6

x²+

13

6

x的对称轴l的方程是x=-

b

2a

=-

13

10

．
点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B₁（-

18

5

，3）．（12分）
在△AB₁B中，作AC₁⊥BB_l于C₁，
则C₁（-3，3），B_lC₁=

3

5

，AC₁=2．
∴tan∠AB₁B=

10

3

．（14分）

点评：此题考查直角三角形的性质及函数的性质，待定系数法求抛物线解析式，还有点关于直线对称的问题，知识点多，但不难．