Question

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否成立？请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；
（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；
（3）首先根据外角的性质得出∠AON=60°进而利用扇形面积公式得出即可．

解答：解：（1）PN与⊙O相切．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
∵∠AMO=∠PMN，
∴∠PNM=∠AMO，
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°，
即PN与⊙O相切．

（2）成立．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN，
在Rt△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°-90°=90°．
即PN与⊙O相切．

（3）连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=30°，PM=PN，
∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，
∴∠PON=30°，∠AON=60°，
作NE⊥OD，垂足为点E，
则NE=ON•sin30°=1×

1

2

=

1

2

，
S_阴影=S_△AOC+S_扇形AON-S_△CON
=

1

2

OC•OA+

60°

360°

×π×1²-

1

2

CO•NE
=

1

2

×1×1+

1

6

π-

1

2

×1×

1

2

=

1

4

+

1

6

π．

点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键，此类综合型题目，对学生的基本功要求较高，注意将所学知识融会贯通．