Question

16．你能求（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
由此我们可以得到：（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1．
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
（1）（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…+（-2）+1．
（2）若x³+x²+x+1=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 根据已知三个等式规律可得（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；
（1）原式变形为-$\frac{1}{3}$×（-2-1）[（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…+（-2）+1]，再根据题中规律可得结果；
（2）由x³+x²+x+1=0可得（x-1）（x³+x²+x+1）=0即x⁴-1=0，求得x的值代入计算即可．

解答 解：根据题意知，（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；
（1）原式=-$\frac{1}{3}$×（-2-1）[（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…+（-2）+1]
=-$\frac{1}{3}$×[（-2）⁵¹-1]
=$\frac{{2}^{51}+1}{3}$；
（2）∵x³+x²+x+1=0，
∴（x-1）（x³+x²+x+1）=0，即x⁴-1=0，
解得：x=1（不合题意，舍去）或x=-1，
则x²⁰¹⁶=（-1）²⁰¹⁶=1．
故答案为：x¹⁰⁰-1．

点评 此题考查整式的混合运算能力，同时也考查学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．