Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相较于点M，与AC相切于点D。过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）连接FM与BD相交于点K，求证：MK=ME；

（3）若AF=1，tan∠N=，求BE的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：（1）连接OD，由OD=OB得∠ODB=∠OBD，再证明OD//BC，从而得∠ODB=∠DBC，得到∠OBD=∠DBC，问题得证；

（2）证明∠MKE=∠MEK即可得；

（3）先证得FB为⊙O的直径，根据tan∠N=tan∠ABC= ，从而得tan∠BAC= ，设OD=r=3 ，则有AD=4 ，AO=5，从而可求得= ， r=，继而得到BF=3，AB=4， BC=，连接BN，从而可得BH的长，再根据∠DBC=∠DBF，得 ，求得BD的长，再根据 ， 即可求得BE的长.

试题解析：（1）连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB∠OBD，

∵AC是⊙O的切线，∴∠ODA=∠C=90 ，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠DBC，

∴∠OBD=∠DBC，

即BD平分∠ABC；

（2）∵∠BHE=90°，∠FBD=∠DBC，

∴∠MEK=∠BEH=90-∠FBD=90-∠DBC，

又∵∠MKE=∠DKF=90 -∠DFK，∠DFK=∠DBC，

.∴∠MKE=∠MEK，∴MK=ME；

（3）∵DF⊥BD， ∴∠FDB=90 ，∴FB为⊙O的直径，

∵tan∠N=tan∠ABC= ，∴ ，∴，

∴tan∠BAC= ，设OD=r=3 ，∴AD=4 ，AO=5，

∴5=3+1，∴= ，∴r=，

∴BF=3，AB=4， BC=，

连接BN，∴∠FNB=90 ，∴BN=BF， BH=BN，

∴BH=××3=，

∵∠DBC=∠DBF，∴ ，∴BD=，

∴ ， 即， ∴BE=.