Question

6．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点G，过点G分别作GE⊥AC于E，GF⊥AD于F
（1）求证：AB平分∠CAD；
（2）若∠CAD=90°，试判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB是CD的垂直平分线，得到AC=AD，然后利用三线合一的性质得到∠CAB=∠DAB即可；
（2）四边形AEGF的形状是正方形，首先判定四边形AEGF是矩形，然后证得GE=GF，利用邻边相等的矩形AEGF是正方形进行判定即可．

解答 （1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一），
即AB平分∠CAD；

（2）四边形AEGF的形状是正方形，
理由：∵GE⊥AC，GF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEG=∠AFG=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，GE⊥AC，GF⊥AD，
∴GE=GF，
∴矩形AEGF是正方形．

点评 本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强，难度不大，解题的关键是：灵活应用性质解决问题．