Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

． 
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算,规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）由算式可以看出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①②由（1）的规律直接抵消得出答案即可；
（3）每一项提取

1

4

，利用（1）的规律推得出答案即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． 
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1004

-

1

1005

）
=

1

4

×

1004

1005

=

251

1005

．

点评：此题考查有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据数字的特点，拆项计算是解决问题的关键．