【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图为她们剌绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),研究发现第个图案中共有个;小正方形.(为整数,且)
(1)请写出第个图案中有____个小正方形;
(2)猜想第个图案和第个图案中小正方形个数之差为
(3)证明(2)中的猜想.
【答案】(1)41;(2)4n;(3)见解析.
【解析】
(1)首先观察给出的四个图,可以得出正方体的个数分别为,,,总结一般性的规律,将一般性数列转化为特殊的数列再求解.
(2)根据(1)得出的一般规律,可写出第个图案中正方形的个数,再与第个图案中正方形的个数做差即可得解.
(3)利用数列的求和公式可得第个图案中正方形的个数是:,利用此规律可写出第个图案中正方形的个数是,再让它们做差即可得证.
(1)∵第一个图案中正方形的个数是:
第二个图案中正方形的个数是:
第三个图案中正方形的个数是:
第四个图案中正方形的个数是:
第个图案中正方形的个数是:
∴第五个图案中正方形的个数是:
故答案是:
(2)∵由(1)可知第个图案中正方形的个数是:
第个图案中正方形的个数是:
∴第个图案和第个图案中小正方形个数之差为
∴第个图案和第个图案中小正方形个数之差为
故答案是:
(3)证明:根据题意,得第个图案中正方形的个数为
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第个图案和第个图案中正方形个数之差为
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【题目】学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.
类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对定义,解下列问题:
(1)求sad60°的值;
(2)对于0°<A<180°,求∠A的正对值sadA的取值范围.
(3)已知sinα=,其中α为锐角,试求sadα的值.
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【题目】已知:如图,,那么成立吗?为什么?下面是小丽同学进行的推理,请你将小丽同学的推理过程补充完整.
解:成立,理由如下:
(已知)
① (同旁内角互补,两条直线平行)
(② )
又(已知),(等量代换)
(③ )
(④ ).
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为,连接AC、BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,
(1)求DE的长;
(2)过点EF作EF⊥CE,交AB于点F,求BF的长;
(3)过点E作EG⊥CE,交CD于点G,求DG的长.
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【题目】从宁海县到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是920千米,而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.
(1)求普通列车的行驶路程;
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车的平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.
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【题目】如图,二次函数(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
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