Question

如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．
（1）求证：BC=2AD；
（2）求证：AB=AE+CE；
（3）求证：DE平分∠MDB．

Answer 1

证明：（1）∵BD平分∠ABM，BD是高，
∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°，
∵在△ABD和△MBD中

∴△ABD≌△MBD（ASA），
∴AD=DM=AM，
∵AE、BD是△ABM的高，
∴∠ADB=∠AEB=∠AEM=90°，
∵∠ACD=∠ECB，∠MAE+∠ADC+∠ACD=180°，∠CBE+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠MAE=∠CBE，
在△AME和△BCE中

∴△AME≌△BCE（ASA），
∴AM=BC，
∴BC=2AD．

（2）∵△ABD≌△MBD，
∴AB=MB，
∵△AME≌△BCE，
∴ME=EC，
∴AB=BM=BE+EM=AE+CE．

（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，
则∠ANE=∠BFE=90°，
∵在△AEN和△BEF中

∴△AEN≌△BEF（AAS），
∴EN=EF，
∵EF⊥BC，EN⊥AD，
∴DE平分∠MDB．
分析：（1）证△ABD≌△MBD，推出AD=DM=AM，证△AME≌△BCE，推出AM=BC，即可得出答案．
（2）根据全等三角形性质得出AB=MB，ME=EC，即可得出答案．
（3）作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，证△ANE≌△BFE，推出EN=EF即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．