Question

（2006•河北区一模）已知，如图，CD是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，BC=

3

，BF=

1

2

，AE：EF=8：3
求：ED的长．

Answer 1

分析：首先连接CF，DF，AC，易证得△BCF∽△BAC，即可求得AB的长，继而求得AE与EF的长，由勾股定理，可求得CE的长，然后又由△DEF∽△AEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得ED的长．

解答：解：连接CF，DF，AC，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF+∠D=90°，
∴∠BCF=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠BCF=∠A，
∵∠B是公共角，
∴△BCF∽△BAC，
∴BF：BC=BC：AB，
∴AB=

BC2

BF

=

( 3 )2

1 2

=6，
∴AF=AB=BF=6-

1

2

=

11

2

，
∵AE：EF=8：3，
∴EF=

3

11

×

11

2

=

3

2

，AE=

11

2

-

3

2

=4，
∴BE=EF+BF=2，
∴CE=

BE2-BC2

=1，
∵∠A=∠D，∠DEF=∠AEC，
∴△DEF∽△AEC，
∴ED：AE=EF：CE，
∴ED=

AE•EF

CE

=

4× 3 2

1

=6．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．