Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），点B（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，直线BC与抛物线的对称轴交于点K，将直线AC绕点C按顺时针方向旋转α°，直线AC在旋转过程中的对应直线A′C与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）存在符合条件的点P，且坐标为（，）、（，）、（1，﹣）、（2，﹣）；（3）点M的坐标是（2，﹣）或（1，﹣）．

【解析】

（1）知道A、B两点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l1的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是直线AC、直线BC中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK＝CM、②KC＝KM、③MC＝MK；求出点M的坐标．

解：（1）如图1，

∵点A（3，0），点B（﹣1，0），

∴，解得，

则该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣；

（2）易知OA＝3、OB＝1、OC＝，则：S△ABC＝ABOC＝×4×＝2．

①当点P在x轴上方时，由题意知：S△ABP＝S△ABC，则：

点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为；

令y＝x2﹣x﹣＝，化简得：2x2﹣4x﹣9＝0

解得 x＝；

∴P1（，）、P2（，）；

②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于S△ABC，此种情况不合题意；

③当点P在抛物线的A、C段时，S△ACP＝ACh＝S△ABC＝，则h＝1；

在射线CK上取点D，使得CD＝h＝1，过点D作直线DE∥AC，交y轴于点E，

如图2；

在Rt△CDE中，∠ECD＝∠BCO＝30°，CD＝1，则CE＝、OE＝OC+CE＝ ，点E（0，﹣）

∴直线DE：y＝x﹣，联立抛物线的解析式，有：，

解得： 或，

∴P3（1，-）、P4（2，-）；

综上，存在符合条件的点P，坐标为（，），（，），（1，-），（2，-）；

（3）如图3，

由（1）知：y＝x2-x-＝（x﹣1）2﹣，

∴抛物线的对称轴 x＝1；

①当KC＝KM时，点C、M1关于抛物线的对称轴x＝1对称，则点M1的坐标是（2，﹣）；

②KC＝CM时，K（1，﹣2），KC＝BC．则直线A′C与抛物线的另一交点M2与点B重合，M、C、K三点共线，不能构成三角形；

③当MK＝MC时，点D是CK的中点．

∵∠OCA＝60°，∠BCO＝30°，

∴∠BCA＝90°，即BC⊥AC，则作线段KC的中垂线必平行AC且过点D，

∴点M3与点P3（1，-）、P4（2，-）重合，

综上所述，点M的坐标是（2，﹣）或（1，﹣）．