Question

9．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．
（1）求证：AF=DC；
（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为AF∥DC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=DC即可；
（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又由AD=CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC；
（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：
由（1）得：AF=DC且AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD=CF，
∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．

点评 本题考查矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．