Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过点D作BA的平行线交AC于点O，过点A作BC的平行线交DO的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若AO：BD=$\sqrt{3}$：2，求证：点E在△ABC的外接圆上．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质得出AD=12BC=CD，即可得出四边形ADCE是菱形；
（2）由直角三角形的性质得出圆心为点D，AD、BD、CD都为半径，画出图形即可；
（3）由菱形的性质得出AC⊥DE，OD=OE，得出sin∠ADO=3：2，由三角函数得出∠ADO=60°，求出∠OAD=30°，由直角三角形的性质得出AD=2OD，得出DE=DA，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：如图所示：圆心为点D，AD、BD、CD都为半径；
（3）证明：∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，OD=OE，
∴∠AOD=90°，
∵AO：BD=3：2，
∴AO：AD=3：2，
即sin∠ADO=3：2，
∴∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴AD=2OD，
∴DE=DA，
∴点E在△ABC的外接圆上．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定与性质、三角函数、点与圆的位置关系等知识；本题综合性强，有一定难度．