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    如图，直线y=-
    4
    3
    x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
    （1）求该二次函数的关系式；
    （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
    （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
    3
    2
    个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．
    ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
    ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
    ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0=______．
    （1）令y=0，则x=3，
    ∴A（3，0），C（0，4），
    ∵二次函数的图象过点C（0，4），
    ∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4．
    又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
    ∴
    0=9a+3b+4
    0=a-b+4
    ，
    解得a=-
    4
    3
    ，b=
    8
    3
    ．
    ∴所求二次函数的关系式为y=-
    4
    3
    x2+
    8
    3
    x+4．

    （2）∵y=-
    4
    3
    x2+
    8
    3
    x+4
    =-
    4
    3
    （x-1）2+
    16
    3

    ∴顶点M的坐标为（1，
    16
    3
    ）
    过点M作MF⊥x轴于F
    ∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM
    =
    1
    2
    ×（3-1）×
    16
    3
    +
    1
    2
    ×（4+
    16
    3
    ）×1
    =10
    ∴四边形AOCM的面积为10．

    （3）①不存在DE∥OC
    ∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
    设点E的坐标为（x1，y1）
    ∴
    |x1|
    3
    =
    4t-4
    5
    ，
    ∴|x1|=
    12t-12
    5

    ∵DE∥OC，
    ∴
    12t-12
    5
    =
    3
    2
    t
    ∴t=
    8
    3

    ∵t=
    8
    3
    ＞2，不满足1＜t＜2．
    ∴不存在DE∥OC．
    ②根据题意得D，E两点相遇的时间为
    3+4+5
    3
    2
    +4
    =
    24
    11
    （秒）
    现分情况讨论如下：
    （ⅰ）当0＜t≤1时，S=
    1
    2
    ×
    3
    2
    t•4t=3t2；
    （ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）
    ∴
    |y2|
    4
    =
    5-(4t-4)
    5
    ，
    ∴|y2|=
    36-16t
    5

    ∴S=
    1
    2
    ×
    3
    2
    t×
    36-16t
    5
    =-
    12
    5
    t2+
    27
    5
    t；
    （ⅲ）当2＜t＜
    24
    11
    时，
    设点E的坐标为（x3，y3），类似ⅱ可得|y3|=
    36-16t
    5

    设点D的坐标为（x4，y4）
    ∴
    |y4|
    4
    =
    3
    2
    t-3
    5
    ，
    ∴|y4|=
    6t-12
    5

    ∴S=S△AOE-S△AOD
    =
    1
    2
    ×3×
    36-16t
    5
    -
    1
    2
    ×3×
    6t-12
    5

    =-
    33
    5
    t+
    72
    5
    ．
    ③当0＜t≤1时，S=
    1
    2
    ×
    3
    2
    t•4t=3t2，函数的最大值是3；
    当1＜t≤2时，S=-
    12
    5
    t2+
    27
    5
    t．函数的最大值是：
    243
    80
    ，
    当2＜t＜
    24
    11
    时，S=-
    33
    5
    t+
    72
    5
    ，0＜S＜
    6
    5
    ．
    ∴S0=
    243
    80
    ．
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    3
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    3
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    1
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    2
    3
    x+
    3
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    9
    4
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线的顶点坐标是(
    5
    2
    ，-
    9
    8
    )    ，且经过点A（8，14）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
    （3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE．
    （1）求证：∠FAO=∠EAM；
    （2）若二次函数y=-x2+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是
    11
    4
    ，求这个二次函数的解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在Rt△ABC中，点P由C点出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，已知AC=4cm，BC=12cm，
    （1）若记Q点的移动时间为t，试用含有t的代数式表示Rt△PCQ与四边形PQBA的面积；
    （2）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求最小值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，水平地面的A、B两点处有两棵笔直的大树相距2米，小明的父亲在这两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子．
    （1）请完成如下操作：以AB所在直线为x轴、线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题中提供的信息，求绳子所在抛物线的函数关系式；
    （2）求绳子的最低点离地面的距离．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=2x2+
    1
    4
    的顶点为M，直线y2=x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1=2x2+
    1
    4
    和直线y2=x于点A，点B．
    （1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
    （2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
    （3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+
    1
    4
    ，求a，b，c的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，正方形ABCD的边长为1，当点E在边BC上运动时（不与正方形的顶点重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F．设BE=x，CF=y，求下列问题：
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    （2）求出y关于x的函数关系式；
    （3）试求当x取何值时？y有最大或最小值，是多少？

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