Question

已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90°。

（1）如图（1），如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1∶3，求AD的长；
（2）如图（2），若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段 AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。

Answer 1

解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°，
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，
且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA，
又∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED，
∴Rt△BE∽Rt△ECD，
∴，
∵BE∶EC=1∶3，BC=16，
∴BE=4，EC=12，
又AB=6，
∴，
在Rt△AED中，由勾股定理，得
=；
（2）（1）猜想：AB+CD=BC；
证明：在Rt△ABE中，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，
且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB，
∴∠BAE=∠CED，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°，
由已知，有AE=ED，
于是在Rt△ABE和Rt△ECD中，
∵∠ABE=∠ECD=90°，∠BAE=∠CED，AE=ED，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS），
∴AB=EC，BE=CD，
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC；
（ii）当A、D分别在直线l两侧时，线段AB、BC、CD有如下等量关系：
AB-CD=BC（AB>CD）或CD-AB=BC（AB<CD）。