Question

3．如图，平行四边形ABCD中，P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP，
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S_△BEF=5，CD=4，求CF．

Answer 1

分析 （1）只要证明$∠\\;\\;\\;BAD=90°$BAD=90°即可．
（2）连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，先证明四边形PMCD是矩形，同理四边形ABMP是矩形，再求出BF、FM，在RT△ABP中，求出BP即可解决问题．

解答 解：（1）∵AE=BE=EP，
∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，
∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，
2∠EAB+2∠EAP=180°，
∴∠EAB+∠EAP=90°，
∴∠BAD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠PMC=90°，
∴四边形PMCD是矩形，同理四边形ABMP是矩形，
∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，
∵BE=EP，EN∥PM．，
∴BN=NM，
∴EN=$\frac{1}{2}$PM=2，
∵$\frac{1}{2}$•BF•EN=5，
∴BF=5，
∵EF⊥BP，BE=EP，
∴PF=BF=5，
∴FM=$\sqrt{P{F}^{2}-P{M}^{2}}$=3，
∴AP=BM=8，
∴BC=BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴CF=BC-BF=4$\sqrt{5}$-5．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．