Question

若反比例函数y1=

k

x

过面积为9的正方形AMON的顶点A，且过点A的直线y₂=mx-n的图象与反比例函数的另一交点为B（-1，a）
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）由正方形的面积求出正方形的边长即可得到点A的坐标，又因为A在反比例函数图象上，把A的坐标代入到反比例函数解析式中求得k的值，即可得到反比例函数的解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入反比例解析式即可求出a的值，然后把A和B的坐标都代入到一次函数解析式得到关于m与n的二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到m与n的值，进而得到一次函数的解析式；
（2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，即可得到OC的长，OC把三角形AOB分为三角形AOC和三角形BOC，两个三角形的底都为OC的长，三角形AOC的高为A纵坐标的绝对值，三角形BOC的高为B纵坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）由正方形AMON的面积为9，且顶点A在反比例函数图象上可知，A（3，3），
把A（3，3）代入到y₁=

k

x

中，解得k=9，
所以反比例函数的解析式为y₁=

9

x

，
把B（-1，a）代入反比例函数解析式得a=

9

-1

=-9，所以B（-1，-9）
把A和B的坐标代入一次函数y₂=mx-n得

3m-n=3① -m-n=-9②

，①-②得4m=12，解得m=3，把m=3代入①得n=6
所以一次函数的解析式为y₂=3x-6；

（2）令y₂=0得：3x-6=0，解得x=2，所以点C（2，0），所以OC=2，
所以S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×9=12．

点评：此题是一道综合题，要求学生会利用待定系数法求函数的解析式，利用数形结合的数学思想解决实际问题，也是中考中常考的题型．