Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形ACEF为菱形，见解析．

【解析】

（1）易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可证得AF∥EC，即可得出结论；

（2）证出AC＝CE，即可得出结论．

（1）证明：∵DE垂直平分BC，

∴D为BC的中点，ED⊥BC，

又∵AC⊥BC，

∴ED∥AC，

∴E为AB中点，

∴ED是△ABC的中位线．

∴BE＝AE，FD∥AC．

∴CE是是△ABC斜边上的中线

∴CE＝AB，

∵CE＝AE＝AF．

∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．

∴∠FAE＝∠AEC．

∴AF∥EC．

又∵AF＝EC，

∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；

理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴AC＝AB，

由（1）知CE＝AB，

∴AC＝CE

又∵四边形ACEF为平行四边形

∴四边形ACEF为菱形．