Question

已知：关于x的函数y=kx²+k²x-2的图象与y轴交于点C,

（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点个数；

（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值。

（3）若k≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围；

Answer 1

解 (1)方法一：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2,

∵b²-4ac=4²-4×(-2)×(-2)=0,  

∴图象与x轴公共点只有一个.

方法二：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2,

令y=0,则-2x²+4x-2=0,

解得：x₁=x₂=1,  

∴图象与x轴公共点只有一个.  

(2) 当△AOC是等腰三角形时,

∵∠AOC=90^o,OC=2,

∴可得OA=OC=2

∴点A的坐标为(2,0)或(-2,0),  

把x=2,y=0代入解析式得2k²+4k -2=0，解得k₁=-1+, k₁=-1-

把x=-2,y=0代入解析式得-2k²+4k -2=0，解得k₁=-k₁=1  

∴k的值为-1+或-1-或1  

(3) 由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，

∴k<0,且对称轴在直线x=1的左侧，

∴,即  

解不等式组,得-2≤k＜0