Question

14、将2，3，4，5…n（n为大于4的整数）分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数．那么，整数n可以取得的最大值是

28

．

Answer 1

分析：先找出两组数之间的规律，即将某一平方数表示成两个数的之后，这两个数必不能分在同一组，再由此规律找出符合条件的最大整数即可．

解答：解：{2，3，4，5…n}为了将这些分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全数，那么将某一平方数表示成两个数的和之后，这两个数必不能分在同一组．比如9=2+7，那么2、7必须要分在不同的组．
我们假设分成的这两组数是
A={a₁，a₂…ai}，
B={b₁，b₂，…bj}，
那么必有 ak∈A，而m²-ak≠ak时，必有 {m²-ak}∈B （其中m=2，3，4，5…），
同样地，也必有bk∈B时，而m²-bk≠bk时，必有 {m²-bk}∈A （m=2，3，4，5…），
这样，不失一般性，我们假设2分在A组，即 a₁=2，
那么 {m²-2}∈B
b₁=3²-2=7，
b₂=4²-2=14，
b₃=5²-2=23
同样地，当 b₁=7时  {m²-7}∈A，即
{4²-7，52-7，6²-7…}∈B，
这样，我们有：
A={2，9，18，29，11，4，13，6，8，15，20，22，24，26，28}
B={7，14，23，34，5，12，3，10，16，17，19，21，25，27}
这种分组方案是不可调整的，就是说，无论从A取什么数到B，B中都会出现两个数的和是完全平方数，同样地，也不能从B中取某数到A中．
所以，n的最大值是28．
故答案为：28．

点评：本题考查的是完全平方数，根据题意找出两组数之间的规律是解答此题的关键．