Question

11．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象于x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，连接BC、BD、AC、CD，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得△MOB．
（1）求抛物线解析式及直线BD的解析式；
（2）①操作一：动点P从点M出发到x轴上的点N，又到抛物线的对称轴上的点Q，再回到y轴上的点C，当四边形MNQC的周长最小时，则四边形MNQC的最小周长为2+$2\sqrt{5}$；此时，tan∠OMN=$\frac{1}{2}$；
②操作二：将△AOC旋转的过程中，A的对应点为A′C的对应点为C′，当OA′⊥AC时，求直线OC′与抛物线的交点坐标；
（3）将△BOM沿y轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM过点D时停止平移，设平移的时间为t秒，△BOM与△BCD的重叠部分的面积为S，请直接求出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入抛物线经过的三个点的坐标求解即可；根据抛物线解析式求出顶点D坐标，用两点法求直线即可；
（2）①根据求线段和最小时，先找对称点，再连接取交点即可；
②根据已知得出OC′∥AC，即可得出OC′的解析式，联立抛物线解方程组即可；
（3）先求出重合部分的顶点坐标再根据面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1

由二次函数y=ax²+bx+c的图象过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3，
可求顶点D（1，-4），
设BD：y=kx+m，代入点B，D坐标得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+m}\\{-4=k+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=-6}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=2x-6；
（2）如图2

①由题意可知：△OAC≌△OMB，
∴OM=OA=1，
M（0，1），
作M关于x轴的对称点M₁（0，1），点C关于抛物线对称轴的对称点C₁（2，3），
连接M₁C₁，交x轴于点N，交抛物线对称轴于点Q，
此时四边形MNQC的周长最小，为：2+$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2+$2\sqrt{5}$，
tan∠OMN=tan∠OM₁N=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
②∵OA′⊥AC，OC′⊥OA′，
∴OC′∥AC，
运用两点法可求AC：y=-3x-3，
∴OC′解析式为：y=-3x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，或x=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，
∴直线OC′与抛物线的交点坐标为：（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{13}}{2}$），（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{3+3\sqrt{13}}{2}$）；
（3）如图3

平移的时间为t秒时，0的对应点为O₂（0，-t），M的对应点M₂（0，-t-1），
O₂B₂交BC于F，交BD于G，M₂B₂交BC于E，交BD于点H，
用两点法可求直线MB的解析式为：y=$\frac{1}{3}x-1$，
此时，M₂B₂的解析式为：y=$\frac{1}{3}x-1$-t，
用两点法可求直线BD解析式为：y=2x-6，直线BC的解析式为：y=x-3，
把y=-t代入BD解析式为：y=2x-6，解得：x=$-\frac{t}{2}+3$，
∴点G（$-\frac{t}{2}+3$，-t），
把y=-t代入直线BC的解析式为：y=x-3，得：x=-t+3，
∴F（-t+3，-t），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1-t}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=-\frac{6}{5}t}\end{array}\right.$，
∴H（$3-\frac{3}{5}t$，$-\frac{6}{5}t$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1-t}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{2}t}\\{y=-\frac{3}{2}t}\end{array}\right.$，
∴E（$3-\frac{3}{2}t$，$-\frac{3}{2}t$），
∴S=$\frac{1}{2}$[3-（-t+3）]×[-t-（$-\frac{3}{2}t$）]-$\frac{1}{2}$[3-（$-\frac{t}{2}+3$）]×[-t-（$-\frac{6}{5}t$）]
=$\frac{1}{5}{t}^{2}$ （0≤t≤$\frac{10}{3}$）．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求抛物线顶点，知道线段和最小的基本解决方法，会用变量表示交点坐标并进一步表示图形面积是解题的关键．