Question

6．如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点．
（1）求证：DM=$\frac{1}{2}$AB；
（2）若点D不在线段BC上（在BC或CB延长线上，如图2），则（1）中结论还成立吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点H，连接HM、DH，根据三角形中位线定理证明MH∥AB，MH=$\frac{1}{2}$AB，根据题意和平行线的性质证明DM=MH即可；
（2）取AC的中点G，连接GM、DG，同理可证．

解答 （1）证明：取AC的中点H，连接HM、DH，
∵M是BC的中点，H是AC的中点，
∴MH∥AB，MH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠HMC=∠B，又∠B=2∠C，
∴∠HMC=2∠C，
∵AD⊥BC，H是AC的中点，
∴DH=HC，
∴∠HDC=∠C，
∴∠HMC=2∠HDC，
∴DM=MH，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB；
（2）DM=$\frac{1}{2}$AB，
证明：取AC的中点G，连接GM、DG，
∵M是BC的中点，H是AC的中点，
∴MG∥AB，MG=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠GMC=∠ABC，又∠ABC=2∠C，
∴∠GMC=2∠C，
∵AD⊥BC，G是AC的中点，
∴DG=GC，
∴∠GDC=∠C，
∴∠GMC=2∠GDC，
∴DM=MG，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB；

点评 本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．