Question

12．在矩形ABCD中，E为DC边上的一点，将△ADE沿AE折叠，点D恰好与AC上的点F重合．

（1）如图1，当点F为AC中点时，求证：△ADE≌△CFE．
（2）如图2，若点F恰好为AC的三等分点（AF＞FC），求tan∠CAE．

Answer 1

分析 （1）首先可证明EF是AC的垂直平分线，从而得到AE=EC，根据题意可知：AD=AF=FC，然后即可判断两三角形全等；
（2）首先由勾股定理求得DC的长，然后利用面积法求得EF的长，最后根据正切函数的定义进行计算即可．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：AD=AF，∠D=∠EFA，
∴EF⊥AC．
又∵F是AC的中点，
∴EF是AC的垂直平分线．
∴AE=EC．
∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∴AD=CF．
在Rt△ADE和Rt△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EC}\\{AD=FC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CFE．
（2）∵F是AC的三等分点，
∴AF=2FC，AC=3FC．
在Rt△ADC中由勾股定理得：DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$FC．
设FC=x，则AC=3x，AD=2x．DC=$\sqrt{5}$x．
由翻折的性质可知：DE=EF．
由S_△ADE+S_△AEC=S_△ADC可知：$\frac{1}{2}AD•DE+\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}AD•DC$．
∴$\frac{1}{2}×2x×EF+\frac{1}{2}×3x×EF=\frac{1}{2}×2x×\sqrt{5}x$．
解得：EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$．
在Rt△AFE中，tan∠CAE=$\frac{EF}{AF}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{2x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定、勾股定理和锐角三角函数的定义，利用面积法求得EF的长是解题的关键．