Question

11．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：四边形FHCG是正方形；
[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．

Answer 1

分析 （!）根据已知条件利用两边及夹角对应相等得到三角形全等．
（2）由（1）证得△BCE≌△ACD，得到对应角相等，利用∠AFE=∠BCE=90°，推出∠BFG=90°，根据CG∥BF，证得∠CGF=∠AFE=90°，因为∠HCE=∠DCG，得到∠GCH=∠ACD=90°，推出四边形FHCG是矩形，通过三角形全等作出一组邻边相等，即可证得结果．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AC=BC，CE=CD，
在△BCE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠ACB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE△ACD；

（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠DAC=∠EBC，
∵∠AEF=∠CEB，∴∠AFE=∠BCE=90°，
∴∠BFG=90°，
∵CG∥BF，
∴∠CGF=∠AFE=90°，
∵∠HCE=∠DCG，
∴∠GCH=∠ACD=90°，
∴四边形FHCG是矩形，
在△CDG与△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠CHE=90°}\\{∠HCE=∠DCG}\\{CE=CD}\end{array}\right.$   
∴△CDG≌△CEH，
∴CG=CH，
∴四边形FHCG是正方形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，找准全等三角形是解题的关键．