Question

（2010•虹口区模拟）已知二次函数y=x²-（m-1）x+m+2．
（1）若抛物线的顶点在x轴上，求m的值；
（2）若抛物线与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁•x₂=m²-9m+2，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意二次函数y=x²-（m-1）x+m+2，的顶点在x轴上，可知二次函数图象与x轴相切，方程x²-（m-1）x+m+2=0，只有一个根，△=0，从而解出m的值；
（2）因抛物线与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0），说明方程的两个根为x₁，x₂可得x₁+x₂=m-1，x₁x₂=m+2，又有x₁•x₂=m²-9m+2，代入从而求出m的值．
解答：解：（1）∵二次函数y=x²-（m-1）x+m+2的顶点在x轴上，
∴△=0，
∴（m-1）²-4×（m+2）=0，
解得m=7或-1；

（2）∵抛物线与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=m-1，x₁×x₂=m+2，
∴△＞0，解得m＞7或m＜-1，
•x₂=m²-9m+2，
∴m=0（舍去）或10，
∴m=10
∴=4．
点评：此题主要考查一元二次方程与函数的关系及方程根与系数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．