分析 (1)先根据圆周角定理得∠CPB=90°,再根据斜边上的中线性质得PQ=CQ=AQ,根据等腰三角形的性质得到∠3=∠4,∠1=∠2,所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°,根据切线的判定定理得到PQ为⊙O的切线;
(2)①在Rt△APC中,利用正切的定义计算出PC=$\frac{1}{2}$PA=2,利用勾股定理计算出AC=2$\sqrt{5}$,接着在Rt△ABC中,利用正切的定义可计算出BC=$\sqrt{5}$,于是可得⊙O的半径的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$;
②先计算出AB=5,则BP=AB-AP=1,再证明OQ为△ABC的中位线,得到OQ∥AB,OQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,而PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$,然后证明△DBP∽△DOQ,再利用相似比可计算出PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$.
解答 解:(1)PQ与⊙O相切.理由如下:
∵BC为⊙O的直径,
∴∠CPB=90°,
在Rt△APC中,∵Q是AC的中点,
∴PQ=CQ=AQ,
∴∠3=∠4,
∵OC=OP,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°,
∴OP⊥PQ,
∴PQ为⊙O的切线;
(2)①在Rt△APC中,∵tanA=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$,
∴PC=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$×4=2,
∴AC=$\sqrt{A{P}^{2}+C{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
在Rt△ABC中,∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$,
∴BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$,
∴⊙O的半径的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$;
②在Rt△ABC中,AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5,
∴BP=AB-AP=1,
∵点O为BC的中点,
∴OQ为△ABC的中位线,
∴OQ∥AB,OQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,
∵PQ=$\frac{1}{2}$AC,
∴PQ=$\sqrt{5}$,
∵PB∥OQ,
∴△DBP∽△DOQ,
∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{BP}{OQ}$,即$\frac{DP}{DP+\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}}$,
∴PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.会运用勾股定理和相似比进行几何计算.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | y1<y2 | B. | y1>y2 | C. | y1=y2 | D. | 不能确定 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 50% | B. | 55% | C. | 60% | D. | 65% |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com