Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-

1

2

）和（m-b，m²-mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁?x₂的值；
（3）当-1≤x≤1时，设抛物线y=ax²+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x₀，y₀），求这时|y₀丨的最小值．

Answer 1

分析：（1）把点（0，-

1

2

）代入抛物线可以求出c的值．
（2）把点（0，-

1

2

）代入直线得n=-

1

2

，然后把点（m-b，m²-mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x₁•x₂的值．
（3）抛物线y=x²+bx-

1

2

的顶点（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），当-

b

2

≤-1时，当-1≤-

b

2

≤0时，当0＜-

b

2

≤1，当1＜-

b

2

时，确定|y₀|的最值．

解答：解：（1）把点（0，-

1

2

）代入抛物线，得：c=-

1

2

；

（2）把点（0，-

1

2

）代入直线得：n=-

1

2

．
把点（m-b，m²-mb+n）代入抛物线，得：
a（m-b）²+b（m-b）+c=m²-mb+n
∵c=n=-

1

2

，
∴a（m-b）²+b（m-b）=m²-mb，
am²-2abm+ab²+bm-b²-m²+mb=0
（a-1）m²-（a-1）•2bm+（a-1）b²=0
（a-1）（m²-2bm+b²）=0
（a-1）（m-b）²=0
∴a=1，
当m-b=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m≠b．
把a=1，c=-

1

2

代入抛物线有：
y=x²+bx-

1

2

，
当y=0时，x²+bx-

1

2

=0，
∴x₁•x₂=-

1

2

；

（3）y=x²+bx-

1

2

，顶点（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

）
①当-

b

2

＜-1时，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大值的点是（1，y₀），
∴|H|=y₀=

1

2

+b＞

5

2

，
在x轴下方与x轴距离最大值的点是（-1，y₀），
∴|h|=|y₀|=|

1

2

-b|=b-

1

2

＞

3

2

，
∴|H|＞|h|，
∴这时|y₀|的最小值大于

3

2

，
②当-1≤-

b

2

≤0时，即0≤b≤2时，在x轴上方与x轴距离最大值的点是（1，y₀），
∴|H|=y₀=

1

2

+b≥

1

2

，当b=0时等号成立，
在x轴下方与x轴距离最大值的点是（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），
∴|h|=|-

1

2

-

b2

4

|=

b2+2

4

≥

1

2

，
当b=0时等号成立，
∴这是|y₀|的最小值等于

1

2

，
③当0＜-

b

2

≤1，即-2≤b＜0时，
在x轴上方与x轴距离最大值的点是（-1，y₀），
∴|H|=y₀=|1+（-1）b-

1

2

|=|

1

2

-b|=

1

2

-b＞

1

2

，
在x轴下方与x轴距离最大值的点是（-

b

2

，-

1

2

-

b2

4

），
∴|h|=|y₀|=|-

1

2

-

b2

4

|=

b2+2

4

＞

1

2

，
∴当这时，|y₀|的最小值大于

1

2

．

④当1＜-

b

2

时，即b＜-2时，在x轴上方与x轴距离最大值的点是（-1，y₀），
∴|H|=

1

2

-b＞

5

2

，
在x轴下方与x轴距离最大值的点是（1，y₀），
∴|h|=|

1

2

+b|=-（b+

1

2

）＞

3

2

，
∴|H|＞|h|，
∴这时|y₀|的最小值大于

3

2

，
综上所述：当b=0，x₀=0时，这时|y₀|取最小值为

1

2

．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，
（1）根据抛物线上的点确定c的值．
（2）结合一元二次方程的解确定x₁•x₂的值．
（3）在x的取值范围内确定|y₀|的最小值．