Question

如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC，试说明AF⊥EF．

Answer 1

答案：
解析：

解：连接AE，设正方形的边长为4x， 　　则DF＝2x，FC＝2x，CE＝x，EB＝3x， 　　且∠D＝∠C＝∠B＝90°． 　　在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝(4x)2＋(2x)2＝20x2， 　　在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2＝(2x)2＋x2＝5x2， 　　在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝(4x)2＋(3x)2＝25x2， 　　在△AEF中，AF2＝20x2，EF2＝5x2，AE2＝25x2， 　　所以AF2＋EF2＝20x2＋5x2＝25x2＝AE2． 　　即AF2＋EF2＝AE2． 　　所以△AEF是直角三角形且∠AFE＝90°． 　　即AF⊥EF． 　　分析：要证明AF⊥EF，只需说明△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只需说明AF2＋EF2＝AE2，于是首先由勾股定理，求出AE，AF，EF． 　　说明：设正方形的边长为4x，意在使图形中已知线段不出现分母，便于计算．