Question

已知：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AE⊥MN，BF⊥MN且与⊙O交于点G，垂足分别是E、F，AC是⊙O的弦，
（1）求证：AB=AE+BF；
（2）令AE=m，EF=n，BF=p，证明：n²=4mp；
（3）设⊙O的半径为5，AC=6，求以AE、BF的长为根的一元二次方程；
（4）将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时，m、n、p之间有什么关系？向下平行移动至与⊙O相离时，m、n、p之间又有什么关系？

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，而AB≠EF，
∴四边形ABFE为梯形，
∵直线MN和⊙O切于点C，
∴OC⊥MN，
∴OC∥AE∥BF，
∴OA=OB，
∴OC为梯形ABFE的中位线，
∴AE+BF=2OC，
即：AB=AE+BF；

（2）证明：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∵∠CBF+∠FCB=90°，
∴∠CBF=∠ECA，
∵∠AEC=∠BFC=90°，
∴△AEC∽△CFB，
∴EC：BF=AE：CF，
∴CF•EC=AE•BF，
∵CF=EC=EF，
∴EF²=4AE•BF，
∵AE=m，EF=n，BF=p，
∴n²=4mp；

（3）解：∵AB=AE+BF，⊙O的半径为5，AC=6，
∴AE+BF=10，BC==8，
∵△AEC∽△CFB，
∴AC：BC=EC：BF=6：8=3：4，
∵EC=FC，
∴CF：BF=3：4，
设CF=3x，BF=4x，
则（3x）²+（4x）²=64，
解得：x=，
即BF=，
∴AE=10-=，
∴AE•BF=，
∴以AE、BF的长为根的一元二次方程为：x²-x+10=0；

（4）解：由平移的性质，可得：四边形EFF′E′是矩形，
∴E′F′=EF，
∵EF²=4AE•BF，
∴E′F′²=4AE•BF，
∴n²=4mp；
∴将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时，m、n、p之间的关系为：n²=4mp；向下平行移动至与⊙O相离时，m、n、p之间的关系为：n²=4mp．
分析：（1）连接OC，先利用AE、BF都垂直于MN，而AB≠EF，可证四边形ABFE是梯形，而O是AB中点，且AE∥OC∥BF，利用平行线分线段成比例定理的推论，易得CE：CF=AO：BO，那么C也是EF中点，从而OC使梯形中位线，利用梯形中位线定理可证AE+BF=2OC，而AB=2OC，即可证；
（2）连接AC、BC，AB是直径，易得∠ACB是90°，从而∠ACE+∠FCB=90°，而BF⊥MN，易得∠FCB+∠FBC=90°，利用同角的余角相等，可证∠ECA=∠FBC，再加上一对直角相等，容易证出△EAC∽△FCB，可得比例线段，再结合CE=CF=EF，代入比例线段，化简即可得证．
（3）由（2）可求得AE+BF=10，又由勾股定理与相似三角形的性质，求得AE与BF的长，继而求得AE•BF，即可得以AE、BF的长为根的一元二次方程；
（4）根据题意画出图形，由平移可得四边形EFF′E′是矩形，即可得EF=E′F′，又由EF²=4AE•BF，即可求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系以及平移的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．