Question

20．如图为抛物线y=2x²的图象，在x轴正半轴上取点A（k，0）（k＞1）作矩形ABCD，B点在抛物线上，D在x轴上，过点H（1，0）和点E（0，-2）的直线经过矩形的顶点C且与AB交于P，BC=3，求过P、C和点（1，2）的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 根据题意得出C（k+3，2k²），然后根据待定系数法求得直线的解析式，把C（k+3，2k²）代入即可求得k的值，得出A、C的坐标，进而求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得过P、C和点（1，2）的抛物线的解析式．

解答 解：∵在x轴正半轴上取点A（k，0）（k＞1）作矩形ABCD，
∴B的横坐标为k，
∴B（k，2k²），
∵BC=3，
∴C（k+3，2k²），
设经过点H（1，0）和点E（0，-2）的直线为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴y=2x-2，
∵直线经过矩形的顶点C，
∴2k²=2（k+3）-2，
解得k=2或k=-1（舍去），
∴A（2，0），C（5，8），
把x=2代入y=2x-2得，y=2，
∴P（2，2），
设过P、C和点（1，2）的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=2}\\{25a+5b+c=8}\\{a+b+c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴过P、C和点（1，2）的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+3．

点评 本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法，求得P、C的坐标是解题的关键．