Question

5．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=-x的图象交于点C，点C的横坐标为-3．
（1）求点B的坐标；
（2）若点Q为直线OC上一点，且S_△QAC=3S_△AOC，求点Q的坐标；
（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC，点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；
（2）由S_△QAC=3S_△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；
（3）利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，解出a的值即可．

解答 解：（1）把x=-3代入y=-x得到：y=3．则C（-3，3）．
将其代入y=mx+5m，得
3=-3m+5m，
解得 m=$\frac{3}{2}$．
则该直线方程为：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$．
令x=0，则y=$\frac{15}{2}$，
即B（0，$\frac{15}{2}$）；

（2）由（1）知，C（-3，3）．
如图1，设Q（a，-a）．
∵S_△QAC=3S_△AOC，
∴S_△QAO=4S_△AOC，或S_△Q′AO=2S_△AOC，
①当S_△QAO=4S_△AOC时，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=4×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=4y_C，即|-a|=4×3=12，
解得 a=-12（舍去正值），
∴Q（-12，8）；
②当S_△Q′AO=2S_△AOC时，
$\frac{1}{2}$OA•y_Q=2×$\frac{1}{2}$OA•y_C，
∴y_Q=2y_C，即|-a|=2×3=6，
解得 a=6（舍去负值），
∴Q′（6，-4）；
故点Q的坐标为（-12，8）或（6，-4）；

（3）∵直线方程为：y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$，令y=0，解得x=-5，
∴A（-5，0），
∵C（-3，3），
∴AC=$\sqrt{（-3+5）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，
∴△CAO∽△DAC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AO}$，即$\frac{AD}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$，
∴AD=$\frac{13}{5}$，
∴OD=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$，
则D（-$\frac{12}{5}$，0）．
设CD解析式为y=kx+b，
把C（-3，3），D（-$\frac{12}{5}$，0）分别代入解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=3}\\{-\frac{12}{5}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-5x-12，
设P点坐标为（a，0），
根据点到直线的距离公式，$\frac{|5a+0+12|}{\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|a|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
两边平方得，（5a+12）²=13a²，
解得a=-5±$\sqrt{13}$，
∴P₁（-5-$\sqrt{13}$，0），P₂（-5+$\sqrt{13}$，0）．
故点P的坐标为（-5-$\sqrt{13}$，0）或（-5+$\sqrt{13}$，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．