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已知:如图,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由;
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?为什么?

【答案】分析:(1)根据已知利用SAS判定△APC≌△BDC,从而得到PC=DC,因为AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60°,
所以∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°,又知∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°,从而推出△PDC为等边三角形;
(2)同理可证△PDC为等边三角形.
解答:解:(1)如图①,△PDC为等边三角形.
(2分)
理由如下:
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°,∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形;(6分)

(2)如图②,△PDC仍为等边三角形.(8分)
理由如下:
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中,∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP,∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形.(12分)
点评:此题主要考查学生对学生以圆周角定理及等边三角形的判定方法的理解及运用.
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已知:如图,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧
BC
上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说精英家教网明理由;
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?为什么?

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(1)当t为何值时,AG=AE?
(2)请证明△GFH的面积为定值;
(3)当t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点?

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3
2
x-
3
上.
(1)根据上述条件画出图形,并求出A、B、D、C的坐标;
(2)若直线y=
3
2
x-
3
与y轴交于点P,抛物线y=ax2+bx+c,过A、B、P三点,求这条抛物线的函数关系式;
(3)求出抛物线的顶点坐标,并指出这个点在△ABC的什么特殊位置.

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精英家教网已知:如图,等边△ABC的边长为2,E为BC边的中点,分别以顶点B、C为圆心,BE、CE长为半径画弧交AB、AC于点D、F.求图中阴影部分的面积.

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已知:如图,等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A,连接CD,BE,交于点P.
(1)观察度量,∠BPC的度数为
120°
120°
.(直接写出结果)
(2)若绕点A将△ACE旋转,使得∠BAC=180°,请你画出变化后的图形.(示意图)
(3)在(2)的条件下,求出∠BPC的度数.

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