Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.

⑴ 求证：BC=CD.
⑵ 若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论.
⑶ 探究：在⑵的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由.

Answer 1

⑴见解析⑵ 一定相等，见解析⑶AB+AD=AC，理由见解析解析:
解：⑴ 证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
又∵∠D =∠B=Rt∠，AC公用，
∴△ABC≌△ADC.
∴ BC=CD.                    …………………………………………2分
⑵ 一定相等 .                ………………………………………………3分
证明：如图2，不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上
   ∵∠B和∠D互为补角，
∴∠D是钝角，作CF⊥AD于F，
则点F必在线段AD的延长线上.
∴∠CDF与∠ADC互补.
∴∠B=∠CDF.
又∵AC是∠BAD的平分线， ∴ CE=CF.
∴Rt△BCE≌Rt△DCF
∴ BC=CD.                ………………………………………………6分
⑶ AB+AD=AC.              ………………………………………………7分
理由是：图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF.
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE.
当∠BAD=60°时，∠CAE=30°，AE=AC.
∴AB+AD=2AE=AC.        ………………………………………………10分
（1）由AC平分∠BAD与∠B和∠D都是直角，以及AC是公共边，根据AAS即可证得△ABC≌△ADC，则可得BC=CD；
（2）首先不妨设∠B为锐角，作CE⊥AB于E，则点E必在线段AB上，由∠B和∠D互为补角，可得∠D是钝角，作CF⊥AD于F，则点F必在线段AD的延长线上，则可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分线，与CE=CF，即可证得Rt△BCF≌Rt△DCE，则可得BC=CD；
（3）在图2中，由已知条件，易知AE=AF，BE=DF，则可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，则可证得AB+AD=2AE=AC