Question

13．问题情境：如图①，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，可以发现PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）直接运用：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）构造运用：如图③，在边长为8的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
（3）综合运用：如图④，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，分别以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-3．

Answer 1

分析 （1）先确定出AP最小时点P的位置，如图1中的P'的位置，即可得出结论；
（2）先判断出A'M=AM=MD，再构造出直角三角形，利用锐角三角函数求出DH，MH，进而用用勾股定理求出CM，即可得出结论；
（3）利用对称性确定出点B关于x轴的对称点B'，即可求出结论．

解答 解：（1）如图1，取BC的中点E，
连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，
在△AEP中，AP+EP＞AE，
即：AP'是AP的最小值，
∵AE=$\sqrt{5}$，P'E=1，
∴AP'=$\sqrt{5}$-1；
故答案为：$\sqrt{5}$-1；

（2）如图2，由折叠知，A'M=AM，
∵M是AD的中点，
∴A'M=AM=MD，
∴以点A'在以AD为直径的圆上，
∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，
过点M作MH⊥CD于H，
在Rt△MDH中，DH=DM•cos∠HDM=2，MH=DM•sin∠HDM=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CHM中，CM=$\sqrt{M{H}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∴A'C=CM-A'M=4$\sqrt{7}$-4；

（3）如图3，作⊙B关于x轴的对称圆⊙B'，连接AB'交x轴于P，
∵B（3，4），
∴B'（3，-4），
∵A（-2，3），
∴AB'=$\sqrt{（3+2）^{2}+（-4-3）^{2}}$=$\sqrt{74}$
∴PM+PN的最小值=AB'-AM-B'N'=AB'-AM-BN=$\sqrt{74}$-3．
故答案为：$\sqrt{74}$-3．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了三角形的三边关系，直角三角形的性质，勾股定理，对称的性质，锐角三角函数，解（1）的关键是确定出点P的位置，解（2）的关键是求出CM的值，解（3）的关键是确定出PM+PN的最小值=MN'，是一道中等难度的题目．