Question

17．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=1，d（B，⊙O）=3．
②已知直线l：y=$\frac{3}{4}x+b$与⊙O的密距d（l，⊙O）=$\frac{6}{5}$，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$$+\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题；
②设直线l：y=$\frac{3}{4}x+b$与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．

解答 解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）=2-1=1．
∵B（4，3），
∴OB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴d（B，⊙O）=5-2=3．
故答案为1，3；
②设直线l：y=$\frac{3}{4}x+b$与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，
∴P（-$\frac{4}{3}$b，0），Q（0，b），
∴OP=$\frac{4}{3}$|b|，OQ=|b|，
∴PQ=$\frac{5}{3}$|b|．
∵S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$PQ•OH，
∴OH=$\frac{OP•OQ}{PQ}$=$\frac{4}{5}$|b|．
∵直线l：y=$\frac{3}{4}x+b$与⊙O的密距d（l，⊙O）=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$|b|=2+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴b=±4；

（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．
∵点D、E分别是直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$$+\frac{4\sqrt{3}}{3}$与x轴、y轴的交点，
∴D（4，0），E（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴OD=4，OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠ODE=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵OC=m，
∴CD=4-m，
∴CN=CD•sin∠CDN=$\frac{1}{2}$（4-m）=2-$\frac{1}{2}$m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜2-$\frac{1}{2}$m＜$\frac{1}{2}$+1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m=4．
此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜$\frac{1}{2}$，
∴CD＜$\frac{1}{2}$，
∴m-4＜$\frac{1}{2}$+1，
∴m＜$\frac{11}{2}$
∴4＜m＜$\frac{11}{2}$．
综上所述：1＜m＜$\frac{11}{2}$．

点评 本题属于新定义型，主要考查了直线上点的坐标特征、勾股定理、三角函数、三角形的面积公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，特别需要注意的是不要把“线段DE与⊙C的密距”与“直线DE与⊙C的密距”相混淆．