Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A（-2，0），B（4，0），与y轴相交于点C，且抛物线经过点（2，2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，是的以点A、B、M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入抛物线解析式列方程组解决问题．
（2）如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系数法求出直线BC解析式，与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，分两种情况考虑：（i）当△ACB∽△ABM时；（ii）当△ACB∽△MBA时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m的值即可．

解答 解：（1）A（-2，0），B（4，0），（2，2）代入抛物线解析式
得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{4a+2b+c=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
（2）如图1，连接BC交对称轴于点H，

由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B与C坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=1，得到y=$\frac{3}{2}$，即H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）不存在．
分两种情况考虑：
（i）不妨设△ACB∽△ABM时，如图2中，

则有∠CAB=∠MAB=45°，
∴直线AM为y=-x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-10}\end{array}\right.$，
∴点M坐标（8，-10），
此时AM=10$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AB}{AM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{AB}{AM}$≠$\frac{AC}{AB}$，
∴△ABC与△AMB不相似．

（ii）不妨设△ACB∽△MBA时，如图3中，

则∠ABC=∠MAB，
∴BC∥AM，
∵直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直线AM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴AM=4$\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AB}{AM}$=$\frac{6}{4\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴$\frac{BC}{AB}$≠$\frac{AB}{AM}$，
△ACB与△MBA不相似．
综上所述，在第四象限内，抛物线上不存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．