Question

15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE，若AD=10，AB=6，则tan∠EDF的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．

解答 解：在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AEB．
又∵AE=BC，∴AE=AD．
在△ABE与△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DFA}\\{∠AEB=∠DAF}\\{AE=DA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△ADF（AAS），
∴DF=AB=6，AF=EB=8．
∴EF=AE-AF=10-8=2．
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$．

点评 本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．