Question

7．如图1，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中点均为O，连接BF，CD，CO．
（1）求证：CD=BF；
（2）如图2，当△DEF绕O点顺时针旋转的过程中，探究BF与CD间的数量关系和位置关系，并证明；
（3）若AC=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，当BF=$\sqrt{7}$时，求旋转角α的大小．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得CO=BO，OD=OF，则CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）连结OC、OD，BF与CD相交于H，如图2，根据等腰直角三角形的性质得OC⊥AB，OD⊥EF，则∠BOF=∠DOC，接着可证明△BOF≌△COD得到BF=CD，∠OBF=∠OCD，然后证明∠CHB=∠COB=90°得到BF⊥CD；
（3）根据等腰直角三角形的性质可计算出OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OD=$\frac{1}{2}$EF=1，作CG⊥DO于G，如图3，设OG=x，CG=y，利用勾股定理得x²+y²=2²，（1+x）²+y²=（$\sqrt{7}$）²，解方程组得x=1，y=$\sqrt{3}$，接着利用三角函数定义可求出∠COG=60°，所以∠BOE=60°，然后根据旋转的性质得旋转角α的度数．

解答 （1）证明：∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB、EF的中点均为O，
∴CO=BO，OD=OF，
∴CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）解：BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
连结OC、OD，BF与CD相交于H，如图2，
∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OD⊥EF，
∴∠BOC=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOC，
在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，
∴BF=CD，∠OBF=∠OCD，
∴∠CHB=∠COB=90°，
∴BF⊥CD；
（3）解：∵△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=2，OD=$\frac{1}{2}$EF=1，
作CG⊥DO于G，如图3，
设OG=x，CG=y，
在Rt△OCG中，x²+y²=2²，
在Rt△CDG中，（1+x）²+y²=（$\sqrt{7}$）²，
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCG中，∵sin∠COG=$\frac{CG}{CO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COG=60°，
∴∠BOE=60°，
∴旋转角α的度数为60°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．