Question

3．如图，Rt△ABC∽Rt△ADE，∠BCA=30°，F，M，N分别为BE，BC，DE的中点．①△BDA∽△CEA；②BD⊥CE；③∠MFN=90°；④MF=2NF．上述结论中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到∠AED=∠BCA=30°，根据三角函数的定义得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是推出△BDA∽△CEA；故①正确；由相似三角形的性质得到∠DBA=∠ACE，由三角形的内角和得到∠CGH=∠BAH=90°，于是得到BD⊥CE，故②正确；根据三角形的中位线即可得到∠MFN=90°，故③正确；由三角形的中位线的性质得到NF=$\frac{1}{2}$BD，MF=$\frac{1}{2}$CE，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，等量代换得到$\frac{NF}{FM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故④错误．

解答 解：∵Rt△ABC∽Rt△ADE，
∴∠AED=∠BCA=30°，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∴△BDA∽△CEA；故①正确；
∴∠DBA=∠ACE，
∵∠BHA=∠CHG，
∴∠CGH=∠BAH=90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
∵F，M，N分别为BE，BC，DE的中点，
∴MF∥CE，NF∥BG，
∴MF⊥BD，
∴MF⊥NF，
∴∠MFN=90°，故③正确；
∵NF=$\frac{1}{2}$BD，MF=$\frac{1}{2}$CE，
∵△BDA∽△CEA，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{NF}{FM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故④错误，
∴正确的结论有3个，
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，三角形的中位线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．