Question

5、我们将1×2×3×…×n记作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若设S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，则S除以2008的余数是（　　）

A、0

B、1

C、1004

D、2007

Answer 1

分析：根据S的特点，再加上一列K=1!+2!+3!+…+2007!后不含系数的n!的形式的和的形式整理就可以得到意想不到的效果．

解答：解：设K=1!+2!+3!+…+2007!，
则S+K=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!+1!+2!+3!+…+2007!
=（1+1）1!+（2+1）2!+（3+1）3!+…+（2007+1）2007!
=2×1!+3×2!+4×3!+…+2007×2006!+2008×2007!
=2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+1!+2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+K+2008×2007!，
∴S=2008×2007!-1，
=2008!-1，
∴S除以2008的余数是1除以2008商为0余2007，
∴S除以2008的余数是2007．
故选D．

点评：本题是信息给予题，提供一列K=1!+2!+3!+…+2007!，再通过整理去掉这列数是解本题的关键，也是难点．这就要求同学们在平时的学习中积累经验，提高自身能力．