Question

1．如图所示在⊙O中，AB、AC为切线，切点为B、C，点D为优弧BC上一点；
（1）求∠A与∠D的数量关系；
（2）若AB=6$\sqrt{3}$，∠D=60°，求⊙O的半径；
（3）在②的条件下，过D作CO与AB的垂线，垂足E、F分别落在CO和AB延长线上，如图所示，当CE=$\sqrt{3}$BF时，求线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，OB，利用切线的性质和四边形内角和是360°解答；
（2）如图2，连接AO，OB，求得OB的长度即可；
（3）作GH⊥OB于H，则HG=BF，设BF=HG=x，得到CE=$\sqrt{3}$x，连接OD，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，OB，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∴∠O=180°-∠A，
∵∠O=2∠D，
∴∠A+2∠D=180°；

（2）如图2，连接AO，OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°，∠OAB=$\frac{1}{2}∠$CAB，
∵∠D=60°，
∴∠CAB=180°-2∠D=60°，
∴∠OAB=30°，
∵AB=6$\sqrt{3}$，
∴OB=6，
∴⊙O的半径是6；

（3）∵∠α=∠β=90°，
∵∠A=60°，
∴∠2=60°，
∵DF⊥AB，OB⊥AB，
∴OB∥FD，
∴∠1=∠2=60°，
作GH⊥OB于H，则HG=BF，设BF=HG=x，
∵CE=$\sqrt{3}$BF，
∴CE=$\sqrt{3}$x，
连接OD，由（2）知，OB=OC=OD=6，
∴OE=CE-OC=$\sqrt{3}$x-6，
∵DE⊥CE，
∴在Rt△ODE中，DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{12\sqrt{3}x-3{x}^{2}}$，
在Rt△DEG中，tan∠1=$\frac{DE}{EG}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴EG=$\frac{DE}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{4\sqrt{3}x-{x}^{2}}$，
∴OG=OE+EG=$\sqrt{3}$x-6+$\sqrt{4\sqrt{3}x-{x}^{2}}$，
∵HG⊥OB，
∴在Rt△OHG中，sin∠2=$\frac{HG}{OG}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵HG=x，
∴2HG=$\sqrt{3}$OG，
∴2x=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$x-6+$\sqrt{4\sqrt{3}x-{x}^{2}}$），
∴6$\sqrt{3}$-x=$\sqrt{12\sqrt{3}x-3{x}^{2}}$，
解得：x=3$\sqrt{3}$，
∴BF=3$\sqrt{3}$，
∴CE=9，DE=$\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．