![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285ce844e52e.png)
解:(1)依题意,及一元二次方程根与系数关系,得
△=[-(k+2)]
2-4×4k>0,①
EH+HF=k+2,②
EH•HF=4k>0,③
又EH-HF=2④
由②、③、④得k=12,
当k=12时,①成立.
把k=12代入原方程解得x
1=8,x
2=6,
∴EH=8,HF=6.
(2)解法一:
连接BD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∵∠1=∠a,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/362869.png)
,
∴AD⊥EF,即∠AHE=∠AHF=90°,
∴∠E=∠1=∠a,
在Rt△AEH中,tanE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/38482.png)
=tana=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,又EH=8,
∴AH=6,
由勾股定理得AE=10,
在Rt△AHF中,AH=HF=6,
由勾股定理得AF=6
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
在Rt△ABD中,tan∠1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/36099.png)
=tana=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,
设AB=3m,则BD=4m,由勾股定理得AD=5m
∵H是OD的中点,
∴AH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
AD
∴AD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
AH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
×6=8
∴5m=8,解得m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2919.png)
,
∴AB=3m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5507.png)
,
∵∠E=∠a,∠BAC=∠FAE,
∴△ABC∽△AFE
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/362870.png)
∴BC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/362871.png)
;
解法二:
同解法一求出AE=10,AD=8
连接CD,
∵AH=HF,且AH⊥HF,
∴∠HAF=∠F=45°
∵AD为⊙O直径,
∴∠ACD=90°,∠ADC=45°
∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
以下同解法一求得BC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/362872.png)
.
分析:(1)根据根与系数的关系,可以得到EH+HF=k+2②,EH•HF=4k>0③,再结合已知EH-HF=2,可求k的值,再把k的值代入方程,解方程可求EH、HF,从而可求EH;
(2)连接BD、CD,由于AD是直径,根据垂径定理可知,AD⊥EF,再利用同角的余角相等,可知∠E=∠1,再利用圆周角的性质,可知∠E=∠1=∠α,从而tan∠E=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,结合EH=8,可求AH,再利用勾股定理可求AE,在Rt△AHF中,利用勾股定理可求AF,在Rt△ABD中,由于tan∠1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,可设AB=3m,BD=4m,利用勾股定理可知AD=5m,而H是OD中点,从而AD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
AH,由于AH=6,可求AD、m的值,从而可求AB,利用∠α=∠E,再加上一个公共角,可证△ABC∽△AFE,可得比例线段,容易求出BC.
点评:本题利用了根与系数的关系、三角函数值、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识.