Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于点A和点B（，0），与y轴交于点C（0，2），点P（2，t）是该抛物线上一点．

（1）求此抛物线的解析式及t的值；

（2）若点D是y轴上一点，线段PD绕点D逆时针旋转90°后，点P的对应点P′恰好也落在此抛物线上，求点D的坐标；

（3）如图2，直线l：y＝kx+b交该抛物线于M、N两点，且满足MC⊥NC，设点P到直线l的距离是d，求d的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2，t＝﹣2；（2）点D的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）；（3）当∠RPK＝0°时，d取得最大值为．

【解析】

（1）已知抛物线上的点B、C坐标，用待定系数法即求得解析式；把P的横坐标代入解析式，即求得纵坐标t的值；

（2）按点P'在y轴左侧或右侧画出两种情况的图形，分别作点P、P'与y轴的垂线段PE、P'F，易证△DFP'≌△PED，由全等三角形对应边相等，可用含d的式子表示P'F与FD，进而用d表示点P'的坐标，即可求解；

（3）tan∠CNH=tan∠GCM，即：，即：，-x1x2=4-2y1-2y2+y1y2，整理得：b2-3b+2=0，解得：b=1，即可求解．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点B（，0）与点C（0，2），

∴ 解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，

∵点P（2，t）是该抛物线上一点，

∴t＝﹣4+2＝﹣2；

（2）过点P作PE⊥y轴于点E，过点P'作P'F⊥y轴于点F，

∴∠PED＝∠DFP'＝90°，

∵P（2，﹣2），

∴PE＝2，OE＝2，

设D（0，d），

①若d＞﹣2，即点D在点P上方，则点P'在y轴右侧，如图1，

∴DE＝d﹣（﹣2）＝d+2，

∵PD绕点D逆时针旋转90°得到P'D，

∴∠PDP'＝90°，PD＝P'D，

∴∠FDP'+∠PDE＝∠FDP'+∠DP'F＝90°，

∴∠PDE＝∠DP'F，

在△DFP'与△PED中，，

∴△DFP'≌△PED（AAS），

∴DF＝PE＝2，FP'＝DE＝d+2，

∴P'（d+2，d+2），

∵点P'也在抛物线上，

∴﹣（d+2）2+2＝d+2，

解得：d1＝﹣4（舍去），d2＝﹣1，

∴D（0，﹣1），

②若d＜﹣2，即点D在点P下方，则点P'在y轴左侧，如图2，

∴DE＝﹣2﹣d，

同理可证：△DFP'≌△PED，

∴DF＝PE＝2，FP'＝DE＝﹣2﹣d，

∴P'（d+2，d+2），

∴﹣（﹣d﹣2）2+2＝d+2，

解得：d1＝﹣4，d2＝﹣1（舍去），

∴D（0，﹣4），

综上所述，点D的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）；

（3）设点M、N的坐标分别为：（x1，y1）、（x2、y2），直线l与y轴交于点R，

联立y＝﹣x2+2，y＝kx+b并整理得：

x2+kx+（b﹣2）＝0，

x1+x2＝﹣k，x1x2＝b﹣2，

y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，

故点C作x轴的平行线GH，分别过点M、N作y轴的平行线交GH于点G、H，

∵MC⊥NC，∴∠GCM+∠HCN＝90°，∠HCN+∠CNH＝90°，

∴∠CNH＝∠GCM，

∴tan∠CNH＝tan∠GCM，即：，

即：，

﹣x1x2＝4﹣2y1﹣2y2+y1y2，其中x1+x2＝﹣k，x1x2＝b﹣2，y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，

整理得：b2﹣3b+2＝0，整理得：b＝1或2（舍去2），

故：b＝1，

则点R（0，1），而点P（2，﹣2），

过点P作PK⊥l交于点K，

则d＝PK＝RPcos∠RPK，

当∠RPK＝0°时，d取得最大值为：PR＝．