Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

(1)求证：AE·FD＝AF·EC；

(2)求证：FC＝FB；

(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径r的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由BD是⊙O的切线得出∠DBA＝90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可； 　　(2)证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF＝DF＝BF即可； 　　(3)求出EF＝FC，求出∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，连接OC，BC，求出∠FCB＝∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理得出(2＋FG)2＝BG×AG＝2BG2， 　　在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2＝FG2－BF2，推出FG2－4FG－12＝0，求出FG即可． 　　解答：(1)证明：∵BD是⊙O的切线， 　　∴∠DBA＝90°， 　　∵CH⊥AB， 　　∴CH∥BD， 　　∴△AEC∽△AFD， 　　∴＝， 　　∴AE·FD＝AF·EC． 　　(2)证明：∵CH∥BD， 　　∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， 　　∴＝＝， 　　∵CE＝EH(E为CH中点)， 　　∴BF＝DF， 　　∵AB为⊙O的直径， 　　∴∠ACB＝∠DCB＝90°， 　　∴CF＝DF＝BF， 　　即CF＝BF． 　　(3)解：∵BF＝CF＝DF(已证)，EF＝BF＝2， 　　∴EF＝FC， 　　∴∠FCE＝∠FEC， 　　∵∠AHE＝∠CHG＝90°， 　　∴∠FAH＋∠AEH＝90°，∠G＋∠GCH＝90°， 　　∵∠AEH＝∠CEF， 　　∴∠G＝∠FAG， 　　∴AF＝FG， 　　∵FB⊥AG， 　　∴AB＝BG， 　　连接OC，BC， 　　∵BF切⊙O于B， 　　∴∠FBC＝∠CAB， 　　∵OC＝OA，CF＝BF， 　　∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC， 　　∴∠FCB＝∠CAB， 　　∵∠ACB＝90°， 　　∴∠ACO＋∠BCO＝90°， 　　∴∠FCB＋∠BCO＝90°， 　　即OC⊥CG， 　　∴CG是⊙O切线， 　　∵GBA是⊙O割线， 　　FB＝FE＝2，由切割线定理得：(2＋FG)2＝BG×AG＝2BG2， 　　在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2， 　　∴FG2－4FG－12＝0， 　　解得：FG＝6，FG＝－2(舍去)， 　　由勾股定理得： 　　AG＝BG＝＝4， 　　∴⊙O的半径是2． 　　点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．

提示：

考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．