Question

（2013•锦州模拟）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM-CM|的值最大，求出点M的坐标．
（3）平面直角坐标系上有一点P（5，2），x轴上是否存在一点Q，使△PQD为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=BM，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点A、C、M三点共线时，|BM-CM|最大，然后求出直线AC的解析式，再根据抛物线的对称轴求解即可；
（3）设抛物线对称轴与x轴相交于点G，过点P作PH⊥x轴于H，设GQ=x，表示出HQ，求出直线BC的解析式，再求出点D的坐标，然后求出△PHQ和△QGD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，再求出OQ的长，从而得到点Q的坐标；
（4）先判断出△BOC是等腰直角三角形，根据EF∥y轴和直线BC的解析判断出△DEF是直角三角形即可与△BOC相似，然后求出∠ADB=90°，再分①点F是直角顶点时，求出点F的纵坐标，代入抛物线求出点F的横坐标，然后代入直线BC解析式求解即可，②点D是直角顶点时，求出直线AD的解析式，与抛物线联立求解得到点F的横坐标，再代入直线BC求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的表达式为y=x²-4x+3；

（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
由三角形的三边关系，|BM-CM|=|AM-CM|＜AC，
∴点A、C、M三点共线时，|BM-CM|最大，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则

m+n=0 n=3

，
解得

m=-3 n=3

，
∴直线AC的解析式为y=-3x+3，
又∵抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-4

2×1

=2，
∴x=2时，y=-3×2+3=-3，
故，点M的坐标为（2，-3）；

（3）如图，设抛物线对称轴与x轴相交于点G，过点P作PH⊥x轴于H，
设GQ=x，
∵P（5，2），
∴HQ=5-2-x=3-x，PH=2，
由B（3，0），C（0，3）易求直线BC的解析式为y=-x+3，
x=2时，y=-2+3=1，
∴点D（2，1），
∴DG=1，
∵△PQD为直角三角形，
∴∠PQD=90°，
∴∠PQH+∠DQG=180°-90°=90°，
∵∠PQH+∠HPQ=90°，
∴∠DQG=∠HPQ，
又∵∠PHQ=∠QGD=90°，
∴△PHQ∽△QGD，
∴

PH

GQ

=

QH

DG

，
即

2

x

=

3-x

1

，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∴OQ=2+1=3或OQ=2+2=4，
∴点Q的坐标为（3，0）或（4，0）；

（4）∵OB=OC=3，OB⊥OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y=-x+3，
∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，
∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），
∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于

1

2

AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，
①点F是直角顶点时，点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，是1，
∴x²-4x+3=1，
整理得x²-4x+2=0，
解得x=2±

2

，
当x=2-

2

时，y=-（2-

2

）+3=1+

2

，
当x=2+

2

时，y=-（2+

2

）+3=1-

2

，
∴点E₁（2-

2

，1+

2

）E₂（2+

2

，1-

2

），
②点D是直角顶点时，
易求直线AD的解析式为y=x-1，
联立

y=x-1 y=x2-4x+3

，
解得

x1=1 y1=0

，

x2=4 y2=3

，
当x=1时，y=-1+3=2，
当x=4时，y=-4+3=-1，
∴点E₃（1，2），E₄（4，-1），
综上所述，存在点E₁（2-

2

，1+

2

）或E₂（2+

2

，1-

2

）或E₃（1，2）或E₄（4，-1），使以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，根据线段垂直平分线的性质和三角形的三边关系判断出点M的位置是解（2）题的关键，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解（3）题的关键，判断出△DEF是直角三角形是解（4）题的关键，难点在于要分情况讨论．